Question

已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．
（I）求抛物线G的方程；
（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|•|BD|为定值；
（III）过A、B分别作抛物G的切线l₁，l₂且l₁，l₂交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．

Answer 1

分析：（1）第一小题较为简单，因为抛物线是标准方程，只须求参数P；
（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点；
（3）欲求面积之和的最小值，利用直线AB的斜率作为自变量，建立函数模型，转化成求函数的最值问题．

解答：解：（1）由题知，抛物线的准线方程为y+1=0，

p

2

=1
所以抛物线C的方程为x²=4y．

（2）设直线AB方y=kx+1交抛物线C于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由抛物线定义知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
所以|AC|=y₁，|BD|=y₂，
由

x2=4y y=kx+1

得x²-4kx-4=0，
显然△＞0，则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
所以y₁•y₂=

x 2 1 • x 2 2

16

=1，所以|AC|•|BD|为定值1．

（3）解：由x²=4y，y=

1

4

x²，y=

1

2

x，
得直线AM方程y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x₁（x-x₁）（1），
直线BM方程y-

1

4

x

2 2

=

1

2

x₂（x-x₂）（2），
由（2）-（1）得

1

2

（x₁-x₂）x=

1

4

x

2 1

-

1

4

x

2 2

，
所以x=

1

2

（x₁+x₂）=2k，∴y=-1
所以点M坐标为（2k，-1），
点M到直线AB距离d=

|k•2k+1+1|

1+k2

=2

1+k2

，
弦AB长为|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

16k2+16

=4（1+k²），
△ACM与△BDM面积之和，
S=

1

2

（|AB|-2）•d=

1

2

×（2+4k²）×2

1+k2

=2（1+2k²）

1+k2

，
当k=0时，即AB方程为y=1时，△ACM与△BDM面积之和最小值为2．

点评：新课标下的圆锥曲线题一般是压轴题，主要考查椭圆或抛物线的有关知识，本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力，背景新颖，综合要求高．数学中的最值与定值问题，历来是高考的热点．求解定值与最值的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值．