(本小题满分15分)
已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P(m,4)到其准线的距离等于5。
(I)求抛物线G的方程;
(II)如图,过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;
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解:(1)由题知, …………2分
所以抛物线G的方程为 …………4分
(2)设直线AB方程,直线AB交抛物线G于点
由抛物线定义知
所以 …………6分
由得
显然
所以为定值1 …………8分
(3)解法一:由
得直线AM方程 (1)
直线BM方程 (2)…………9分
由(2)—(1)得
所以点M坐标为 …………10分
点M到直线AB距离 …………11分
弦AB长为
…………12分
面积之和
……13分
当k=0时,即AB方程为y=1时,面积之和最小值为2。……15分
解法二:(参考解法一相应步骤给分)由解法一知…………11分
面积之和
其中d为点M到直线AB的距离;
,当且仅当k=0时等号成立。
而当k=0时,d也取到最小值2, …………13分
当k=0时,即AB方程为y=1时,面积之和最小值为2。
…………15分
科目:高中数学 来源:2012-2013学年福建省高三上学期期中理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分15分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,试分别解答以下两小题.
(ⅰ)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(ⅱ)若是两个不相等的正数,且,求证:.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省高三下学期3月联考理科数学 题型:解答题
(本小题满分15分).
已知、分别为椭圆:的
上、下焦点,其中也是抛物线:的焦点,
点是与在第二象限的交点,且。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点P(1,3)和圆:,过点P的动直线与圆相交于不同的两点A,B,在线段AB取一点Q,满足:,(且)。求证:点Q总在某定直线上。
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省高三上学期第三次月考数学文卷 题型:解答题
(本小题满分15分)
如图已知,椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线与椭圆相交于A、B两点。
(Ⅰ)若,且,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若求的最大值和最小值。
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科目:高中数学 来源:2014届浙江省宁波市高一上学期期末考试数学 题型:解答题
(本小题满分15分)若函数在定义域内存在区间,满足在上的值域为,则称这样的函数为“优美函数”.
(Ⅰ)判断函数是否为“优美函数”?若是,求出;若不是,说明理由;
(Ⅱ)若函数为“优美函数”,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010-2011年江苏省高二下学期期中考试理数 题型:解答题
(本小题满分15分)在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回地依次抽取2道题.求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到文科题的概率
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