Question

已知

m

=（cosωx+sinωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0．设函数f（x）=

m

•

n

，且函数f（x）的周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，当f（B）=1时，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（I）根据向量积得出f（x）=cos2ωx+

3

sin2ωx进而化简成f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），然后根据周期公式得出答案．
（II） 首先根据条件求出sin(2B=

π

6

)=

1

2

，进而由角的范围求出B的度数，再由等差数列的性质得出2b=a+c，从而利用余弦定理求出角B的度数进而判断三角形的形状．

解答：解：
（I）∵

m

=(cosωx+sinωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)  (ω＞0)

∴f(x)= m • n = m =cos2ωx-sin2ωx+2 3 cosωxsinωx=cos2ωx+ 3 sin2ωx， ∴f(x)=2sin(2ωx+ π 6 )

∵函数f（x）的周期为π∴T=

2π

2ω

=π∴ω=1
（Ⅱ）在△ABC中f(B)=1∴2sin(2B+

π

6

)=1∴sin(2B=

π

6

)=

1

2

又∵0＜B＜π∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

7

6

π
∵2B+

π

6

=

5π

5

∴B=

π

3

∵a，b，c成等差∴2b=a+c
∴cosB=cos

π

3

=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

∴ac=a2+c2-

(a+c)2

4

化简得：a=c又∵B=

π

3

∴△ABC为正三角形

点评：本题考查了三角函数周期性的求法以及利用余弦定理判断三角形的形状，解题过程要特别注意角的范围，属于中档题．