Question

已知

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sibωx），且ω＞0，设f（x）=

m

•

n

，f（x）的图象相邻两对称轴之间的距离等于

π

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，b+c=4，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算和条件列出解析式，根据倍角公式和两角和的正弦公式进行化简，由两个相邻的对称轴之间的距离是周期的一半，求出ω的值；
（Ⅱ）根据f（A）=1和A的范围，求出A的值，代入三角形面积公式S_△ABC=

1

2

bcsinA，根据b+c=4和基本不等式求出面积的最大值，注意等号成立的条件是否取到．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2

3

sinωxcosωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）（4分）
∵f（x）的图象相邻两对称轴之间的距离等于

π

2

，
∴

π

2ω

=

π

2

，解得ω=1，∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．（6分）
（Ⅱ）∵f（A）=1，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．（8分）
∵b+c=4，∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

4

(

b+c

2

)2=

3

（10分）
当且仅当b=c=2等号成立，故S_△ABC面积最大值为

3

．（12分）

点评：本题的考点是三角函数解析式的求法以及基本不等式的应用，应先对解析式化简再把条件代入，利用知识点有倍角公式和两角和的正弦公式，正弦函数的性质，以及利用基本不等式求最值问题，注意等号成立的条件．