Question

5．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，当x=-1时，f（x）的极大值为7，；当x=3时，f（x）有极小值．求：
（1）a，b，c的值；
（2）函数f（x）当x∈[-2，0]时的最大．小值．

Answer 1

分析 （1）因为当x=-1时，f（x）有极大值，当x=3时，f（x）有极小值，所以把x=-1和3代入导数，导数都等于0，就可得到关于a，b，c的两个等式，再根据极大值等于7，又得到一个关于a，b，c的等式，三个等式联立，即可求出a，b，c的值．
（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值．

解答 解：（1）∴f（x）=x³+ax²+bx+c
∵f′（x）=3x²+2ax+b
而x=-1和x=3是极值点，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3-2a+b=0}\\{f′（3）=27+6a+b=0}\end{array}\right.$，解之得：a=-3，b=-9
又f（-1）=-1+a-b+c=-1-3+9+c=7，故得c=2，
∴a=-3，b=-9，c=2；
（2）由（1）可知f（x）=x³-3x²-9x+2，
∴f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
∴函数f（x）在[-2，-1）递增，在（-1，0]递减，
∴f（x）_最大值=f（x）_极大值=f（-1）=7，
而f（-2）=-12，f（0）=2，
∴f（x）_最小值=f（-2）=-12．

点评 本题主要考查导数在求函数的极值中的应用，做题时要细心．理解极值与导数的对应关系及极值的判断规则是解题的关键，本题是导数应用题，常见题型．