Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$，若对?a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，则实数m的取值范围是[$\frac{1}{2}$，2]．

Answer 1

分析 化简f（x）=1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$，讨论m≥1，当m＜1时，判断函数的单调性，求得值域，再由不等式恒成立思想可得m的范围．

解答 解：由题意可得，f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，
∵函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$=$\frac{{e}^{x}+1+m-1}{{e}^{x}+1}$=1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$，
∴当m≥1时，函数f（x）在R上是减函数，函数的值域为（1，m）；
即f（a）＞1，f（b）＞1，则f（a）+f（b）＞2，
又f（c）＜m，
由恒成立思想可得，1≤m≤2 ①．
当m＜1时，函数f（x）在R上是增函数，函数的值域为（m，1）；
故f（a）+f（b）＞2m，f（c）＜1，
同理可得2m≥1，即$\frac{1}{2}$≤m＜1②
由①②可得$\frac{1}{2}$≤m≤2，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，2]．

点评 本题考查函数的值域和单调性的运用，同时考查不等式的恒成立问题转化为求最值问题，属于中档题．