Question

2．若α、β∈（0，$\frac{π}{2}$），且有sinα-sinβ=-$\frac{2}{3}$，cosα-cosβ=$\frac{2}{3}$，则tan（α-β）的值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{14}}{5}$
• B． -$\frac{2\sqrt{14}}{5}$
• C． ±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$
• D． ±$\frac{5\sqrt{14}}{28}$

Answer 1

分析 吧所给的2个式子平方相加，利用两角和差的余弦公式求得cos（α-β）=$\frac{5}{9}$，再结合0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，利用同角三角函数的基本关系求得 sin（α-β）的值，可得tan（α-β）的值．

解答 解：由α、β∈（0，$\frac{π}{2}$），sinα-sinβ=-$\frac{2}{3}$，cosα-cosβ=$\frac{2}{3}$，可得0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，
且$\left\{\begin{array}{l}{{sin}^{2}α{+sin}^{2}β-2sinαsinβ=\frac{4}{9}}\\{{cos}^{2}α{+cos}^{2}β-2cosαcosβ=\frac{4}{9}}\end{array}\right.$，两式相加求得cos（α-β）=$\frac{5}{9}$，
∴sin（α-β）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=-$\frac{2\sqrt{14}}{9}$，∴tan（α-β）=$\frac{sin（α-β）}{cos（α-β）}$=-$\frac{2\sqrt{14}}{5}$，
故选：B．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．