Question

11．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x-1≥0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$，则$\frac{x+y}{x}$的取值范围是[$\frac{4}{3}$，4]．

Answer 1

分析 ①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数表示动点P（x，y）与定点O（0，0）连线斜率k再加1，③过O做直线与可行域相交可计算出直线PO斜率，从而得出所求目标函数范围．

解答 解：先画出可行域如图：
因为目标函数表示动点P（x，y）与定点O（0，0）连线斜率k再加1；
由图可知；
K_OB最小，K_OA最大；
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$可得A（1，3）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$可得B（3，1）．
故：K_OB=$\frac{1-0}{3-0}$=$\frac{1}{3}$，K_OA=$\frac{3-0}{1-0}$=3，
∴$\frac{1}{3}$≤K_OP≤3，
所以：$\frac{x+y}{x}$=1+k∈[$\frac{4}{3}$，4]．
故答案为：[$\frac{4}{3}$，4]．

点评 本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．