Question

18．已知k∈R且k≠-1，求证：圆系x²+y²+2kx+（4k+10）y+10k+20=0中任意两圆必相切．

Answer 1

分析 把曲线方程配方后，根据常数k≠-1，得到二元一次方程表示曲线是圆，找出圆心坐标与半径，求出圆心距与半径的关系，即可证明结论．

解答 解：方程化简得：（x+k）²+（y+2k+5）²=5（k+1）²，
∴圆心（-k，-2k-5），r=$\sqrt{5}$|k+1|，
∴圆心距为$\sqrt{（{k}_{1}-{k}_{2}）^{2}+（2{k}_{1}-2{k}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$|k₁-k₂|，
∴圆系x²+y²+2kx+（4k+10）y+10k+20=0中任意两圆必相切．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，圆系方程的应用，基本知识的考查．