Question

某种商品在30天内每克的销售价格P（元）与时间t的函数图象是如图所示的两条线段AB，CD（不包含A，B两点）；该商品在30天内日销售量Q（克）与时间t（天）之间的函数关系如表所示．

第t天	5	15	20	30
销售量Q克	35	25	20	10

（1）根据提供的图象，写出该商品每克的销售价格P（元）与时间t的函数关系式；
（2）根据表中数据写出一个反映日销售量Q随时间t变化的函数关系式；
（3）在（2）的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的t值．
（注：日销售金额=每克的销售价格×日销售量）

Answer 1

分析：（1）设AB所在的直线方程为P=kt+20，将B点代入可得k值，由CD两点坐标可得直线CD所在的两点式方程，进而可得销售价格P（元）与时间t的分段函数关系式．
（2）设Q=k₁t+b，把两点（5，35），（15，25）的坐标代入，可得日销售量Q随时间t变化的函数的解析式
（3）设日销售金额为y，根据销售金额=销售价格×日销售量，结合（1）（2）的结论得到答案．

解答：解：（1）由图可知 A（0，20），B（25，45），C（25，75），D（30，70），
设AB所在的直线方程为P=kt+20，
把B（25，45）代入P=kt+20得 k=1．                   …（1分）
所以l_AB：P=t+20．                       …（2分）
由两点式得CD所在的直线方程为P-75=

75-70

25-30

(t-25)．   …（3分）
整理得，P=-t+100，25≤t≤30，…（4分）
所以P=

t+20，0＜t＜25 -t+100，25≤t≤30

．                    …（5分）
（2）设Q=k₁t+b，把两点（5，35），（15，25）的坐标代入得

5k1+b=35 15k1+b=25

，
解得

k1=-1 b=40

…（6分）
所以Q=-t+40．                                       …（7分）
把点（20，20），（30，10）代入Q=-t+40也适合，
即对应的四点都在同一条直线上，…（8分）
所以Q=-t+40（0＜t≤30）．                             …（9分）
（本题若把四点中的任意两点代入Q=k₁t+b中求出k₁，b，再验证也可以）
（3）设日销售金额为y，依题意得，
当0＜t＜25时，y=（t+20）（-t+40），
配方整理得 y=-（t-10）²+900．                         …（10分）
所以当t=10时，y在区间（0，25）上的最大值为900，…（11分）
当25≤t≤30时，y=（-t+100）（-t+40），
配方整理得y=（t-70）²-900，…（12分）
所以当t=25时，y在区间[25，30]上的最大值为1125．       …（13分）
综上可知日销售金额最大值为1125元，此时t为25．         …（14分）

点评：本小题主要考查具体的函数模型在实际问题中的应用，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及应用意识和运算求解能力