Question

某种商品在30天内每件销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t（天）之间的函数关系是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N^*）．
（1）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
（2）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量）

Answer 1

分析：（1）根据图象可知，每件商品的销售价格P与时间t的函数关系式满足一次函数，根据图象中所提供的点进行求解
（2）由日销售金额=每件的销售价格×日销售量可得，且由确表格中所提供的数据可知Q=t-40，从而结合（1）可得y=

-t2+20t+800 0＜t＜25 t2-140t+4000 ，25≤t≤30

，利用二次函数的性质进行求解最大值．

解答：解：（1）当0＜t＜25时，设P=kt+b，则

b=20 25k+b=45

∴

b=20 k=1

∴P=t+20（2分）
当25≤t≤30时，设P=mt+n，则

25m+n=75 30m+n=70

，
∴

m=-1 n=100

∴P=-t+100（5分）
综上所述：P=

t+20  ，0＜t＜25 100-t，25≤t≤30

（6分）
（2）设销售额为S元
当0＜t＜25时，S=P•Q=（t+20）•（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900（8分）
∴当t=10时，S_max=900（9分）
当25≤t≤30时，S=PQ=（100-t）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900（11分）
∴当t=25时，S_max=1125＞900（13分）
综上所述，第25天时，销售额最大为1125元．（14分）

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求最值，同时考查了根据图象求解析式，属于中档题．