Question

（2010•武汉模拟）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（0＜t≤2）左侧的图形的面积f（t），则函数f（t）的解析式为：

f(t)=

3 2 t2，(0＜t≤1) - 3 2 t2+2 3 t- 3 ，(1＜t≤2)

．

Answer 1

分析：在求f（t）的解析式时，关键是要根据图象，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象．

解答：解：分两种情况讨论：
（1）当0＜t≤1时，
如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，
又

|CD|

|OC|

=

|BE|

|CE|

=

3

1

=

3

，∴|CD|=

3

t，
∴f(t)=

1

2

|OC|•|CD|=

1

2

•t•

3

t=

3

2

t2
（2）当1＜t≤2时，
如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2-t，
又

|MN|

|AN|

=

|BE|

|AE|

=

3

1

=

3

，∴|MN|=

3

(2-t)
∴f(t)=

1

2

•2•

3

-

1

2

•|AN|•|MN|=

3

-

3

2

(2-t)2=-

3

2

t2+2

3

t-

3

综上所述：f(t)=

3 2 t2，(0＜t≤1) - 3 2 t2+2 3 t- 3 ，(1＜t≤2)

，
故答案为：f(t)=

3 2 t2，(0＜t≤1) - 3 2 t2+2 3 t- 3 ，(1＜t≤2)

．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、分段函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类讨论思想．属于基础题．