Question

已知离心率为e=2的双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离是

3

（1）求双曲线C的方程
（2）过点M（5，0）的直线l与双曲线C交于A、B两点，交y轴于N点，当

NM

=λ

AM

=μ

BM

，且(

1

λ

)2+(

1

μ

)2=(

7

5

)2时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据点到直线的距离公式求出右焦点F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离，从而得a=1最后写出双曲线方程
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得直线l的方程，从而解决问题．

解答：解：（1）∵e=2∴

c

a

=2（1分）
右焦点F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离d=

|cb|

a2+b2

=b=

3

（3分）
从而得a=1∴双曲线方程是x2-

y2

3

=1（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2- y2 3 =1 y=k(x-5)

得（3-k²）x²+10k²x-25k²-3=0△=100k4+4(3-k2)(25k2+3)＞0(k≠±

3

)①x1+x2=-

10k2

3-k2

，x1x2=-

25k2+3

3-k2

由

NM

=λ

AM

得，同理

1

μ

=1-

x2

5

1

λ

+

1

μ

=2-

x1+x2

5

=

6

3-k2

，

1

λ

•

1

μ

=1-

x1+x2

5

+

x1x2

25

=

72

25(3-k2)

(

1

λ

)2+(

1

μ

)2=(

1

λ

+

1

μ

)2-

2

λμ

=

36

(3-k2)2

-

144

25(3-k2)

=

49

25

解得k=±3满足①∴l方程为3x-y-15=0或3x+y-15=0

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了直线与圆锥曲线的位置关系．综合考查了学生基础知识的掌握和理解．