Question

已知：数列{an}满足，其中n∈N，首项为a0 (1) 若对于任意的n∈N，数列{an}还满足an＝p(p为常数)，试求a0的值； (2) 若a0＝4，求满足不等式an≤2的自然数n的集合； (3) 若存在a0，使数列{an}满足：对任意正整数n，均有an＜an+1，求a0的取值范围

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∴对任意的n∈N，an＝p(p为常数)， ∴an＝an+1＝a0＝p， 则＝p，得p2－3p＋2＝0， 所以p＝1或p＝2，故a0的值为1或2．…………………………4分
(2)	解法1：由已知，得an+1－1＝， a0＝4，所以由(1)得an≠1，2对任意n∈N成立． ∴所求的自然数n的集合为：{n|n≥3，n∈N}……………………8分 解法2：由a0＝4>2，a1＝f(a0)＝>2， 可假设当n＝k(k≥1且k∈N)时，ak>2成立， 则当n＝k＋1时，ak+1＝4－． ∵ak＋1>3，∴4－>2， 即得ak+1>2． ∴当n＝k＋1(k≥1且k∈N)时，ak+1>2成立． 由此可得an>2对任意的自然数n都成立． 所以此时，知数列{an}是递减数列． 由计算可知：， 因此n≥3，n∈N即为所求的自然数n的范围． ∴所求的自然数n的集合为：{n|n≥3，n∈N}………………………………8分
(3)	解：解不等式an<an+1，得an<，得an<－1或1<an<2． 要使a1<a2，则a1<－1或1<a1<2． (i)当a1<－1时，a2＝f(a1)＝4－>4，而a3＝f(a2)＝4－<4<a2，明显不满足题意，舍去； (ii)当1<a1<2时，由a2＝4－，得1<a2<2， 由a3＝4－，和1<a3<2， …，…， 依此类推，an＝4－，得1<an<2， 而1<an<2时，不等式an<an+1成立． ∴数列{an}中的所有项均满足an<an+1(n∈N*)． 综上所述，a1∈(1，2)，由a1＝f(a0)，得a0∈(1，2)………………14分