Question

已知函数f（x）=

x2 4 +1，-2≤x≤1 x-3，1＜x≤2

，则函数y=f（f（x））的值域是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法．先求出内层的t=f（x）的范围，再根据t的范围，借助于函数f（x）性质，求y=f（t）的值域即为所求．

解答： 解：令t=f（x），由f（x）=

x2 4 +1，-2≤x≤1 x-3，1＜x≤2

，得：
当-2≤x≤1时，t=

1

4

x2+1∈[1，2]；当1＜x≤2时，t=x-3∈[-2，-1]，
所以要求函数y=f（f（x）），即求f（t）=

t2 4 +1，-2≤t≤-1或t=1 t-3，1＜t≤2

的值域，
当-2≤t≤-1或t=1时，f（t）=

t2

4

+1∈[1，2]；
当1＜t≤2时，f（t）∈（-2，-1]．
综上，函数y=f（f（x））的值域是（-2，-1]∪[1，2]．
故答案为（-2，-1]∪[1，2]．

点评：首先这是一道分段函数问题，要分段处理，同时求复合函数y=f（f（x））的值域，利用换元法使问题最终转化为分段函数的值域问题．