试题分析:(1)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+
由0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.
知f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,从而
=f(1)=-1.
(2)利用导数确定函数的最大值得,
=f
=-1+ln
由-1+ln
=-3,即得a=
.
(3)由(1)知当a=-1时
=f(1)=-1,可知|f(x)|≥1;
应用导数研究g(x)=
,得到
=g(e)=
<1,即g(x)<1,
根据|f(x)|>g(x),即|f(x)|>
知方程|f(x)|=
没有实数解.
试题解析:(1)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+
当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
=f(1)=-14分
(2)∵f′(x)=a+
,x∈(0,e],
∈
①若a≥
,则f′(x)≥0,f(x)在(0,e]上增函数
∴
=f(e)=ae+1≥0.不合题意 5分
②若a<
,则由f′(x)>0
>0,即0<x<
由f(x)<0
<0,即
<x≤e.从而f(x)在
上增函数,在
为减函数
∴
=f
=-1+ln
令-1+ln
=-3,则ln
=-2∴
=
,即a=
.
∵
<
,
∴a=
为所求 8分
(3)由(1)知当a=-1时
=f(1)=-1,
∴|f(x)|≥1
又令g(x)=
,g′(x)=
,令g′(x)=0,得x=e,
当0<x<e时,g′(x)>0,g(x)在(0,e)单调递增;当x>e时,g′(x)<0,g(x)在(e,+∞)单调递减∴
=g(e)=
<1,∴g(x)<1
∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|>
∴方程|f(x)|=
没有实数解. 12分