Question

已知各项均为正数的数列{a_n} 满足

a

2 n+1

=2

a

2 n

+anan+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）令cn=1+

n

an

，记数列{a_n} 的前n项积为T_n，其中n∈N^* 试比较T_n 与9的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）将a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，化简为（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，又a_n＞0，得出2a_n=a_n+1，数列{a_n}是公比为2的等比数列，故可求数列{a_n} 的通项公式；
（2）构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），证得f（x）＜f（0）=0，进而利用放缩法、再利用错位相减法，即可得到结论．

解答：解：（1）因为a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1，所以数列{a_n}是公比为2的等比数列．
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（2）构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则f′(x)=-

x

1+x

当x＞0时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0）=0，∴ln（1+x）-x＜0
∴lnc_n=ln（1+

n

an

）=ln(1+

n

2n

)＜

n

2n

∴lnT_n＜

1

2

+

2

22

…+

n

2n

记A_n=

1

2

+

2

22

…+

n

2n

①，则

1

2

A_n=

1

22

+

2

23

…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
∴①-②可得

1

2

A_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

＜1
∴A_n＜2
∴lnT_n＜2
∴T_n＜e²＜9．

点评：本题主要考查等比数列的判定，性质和数列的求和，考查构造函数，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．