Question

已知，，，设C是直线OP上的一点，其中O为坐标原点．
（1）求使取得最小值时向量的坐标；
（2）当点C满足（1）时，求cos∠ACB．

Answer 1

解：（1）∵点C在直线OP上，∴可设 =t=（2t，t）．
∵=（1，7），=（2t，t），=（5，1），
∴=-=（1-2t，7-t），=-=（5-2t，1-t）．
∴•=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1+t）=5t²-20t+12=5（t-2）²-8．
∴当t=2时，•取得最小值-8，此时，=（4，2）．
（2）当=（4，2）时，=（-3，5），=（1，-1），
∴cos∠ACB=．
分析：（1）设 =t=（2t，t），求出 和 的坐标，代入• 的式子进行运算，再利用二次函数的性质求出•的最小值．
（2）把和的坐标代入两个向量的夹角公式，求出cos∠ACB 的值．
点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，两个向量夹角公式的应用．