Question

设函数 f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程y=3x+2．
（Ⅰ）求函数f（x） 的表达式；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1]都有f（x）＜成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∵a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），
∴c=0． （2分）
又f（x）在x=1处的切线方程为y=3x+2，
由f'（x）=3ax²+b，
∴f'（1）=3，且f（1）=5，
∴得 ． （5分）
∴f（x）=-x³+6x…6分
（II）f（x）=-x³+6x，
依题意 对任意x∈（0，1]恒成立，
∴-x⁴+6x²≤m对任意x∈（0，1]恒成立，…（7分）
即 m≥-（x²-3）²+9对任意x∈（0，1]恒成立，
∴m≥5． （9分）
即m的取值范同是（5，+∞）．…12分．
分析：（I）求a，b，c的值，可由函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2转化为方程解出a，b，c的值；
（II）若对任意x∈（0，1]都有f（x）＜成立，求实数k的取值范围，可转化为对任意x∈（0，1]都有xf（x）≤m，下转化为求函数xf（x）在（0，1]的最大值，判断出参数的取值范围问题；
点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第三小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．