Question

已知向量

a

=（sinωx+cosωx，sinωx）

b

=（sinωx-cosωx，2

3

cosωx），设函数f（x）=

a

•

b

（x∈R）的图象关于直线x=

π

3

对称，其中常数ω∈（0，2）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

π

12

个单位，得到函数g（x）的图象，用五点法作出函数g（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]的图象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称，得到f（

π

3

）=±2，求出k与ω的值，即可确定出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用平移规律确定出g（x）的解析式，由x的范围求出2x的范围，利用五点法即可作出g（x）的图象．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

a

=（sinωx+cosωx，sinωx）

b

=（sinωx-cosωx，2

3

cosωx），
∴f（x）=

a

•

b

=sin2ωx-cos2ωx+2

3

sinωxcosωx=

3

sin2ωx-cosωx=2sin（2ωx-

π

6

），
∵f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称，∴f（

π

3

）=±2，
∴

2π

3

ω-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，即ω=

3k

2

+1∈（0，2），
∴k=0，ω=1，即f（x）=2sin（2x-

π

6

），
∴T=π；
（Ⅱ）根据题意得：g（x）=f（x+

π

12

）=2sin2x，

x	- π 2	- π 4	0	π 4	π 2
2x	-π	- π 2	0	π 2	π
2sin2x	0	-2	0	2	0

画出图象得：

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，平面向量积的运算法则，两角和与差的正弦函数公式，以及五点法画三角函数图象，熟练掌握公式是解本题的关键．