Question

已知向量

a

=（sinθ，cosθ）与

b

=（

3

，1），其中θ∈（0，

π

2

）
（1）若

a

∥

b

，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(

a

+ 

b

)2，求f（θ）的值域．

Answer 1

分析：（1）通过向量的平行，推出sinθ=

3

cosθ，根据θ的范围，同角三角函数的基本关系式，直接求sinθ和cosθ的值；
（2）先根据向量坐标运算表示出函数f（θ），然后化简为y=Asin（wx+ρ）的形式你，再根据θ的范围和正弦函数的性质得到答案．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，
∴sinθ-

3

cosθ=0
求得tanθ=

3

又∵θ∈（0，

π

2

）∴θ=

π

3

sinθ=

3

2

，cosθ=

1

2

（本问也可以结合sin²θ+cos²θ=1或利用2sin（θ-

π

2

）=0来求解．
（2）f（θ）=(sinθ+

3

)2+（cosθ+1）²
=2

3

sinθ+2cosθ+5
=4sin（θ+

π

6

）+5
又∵θ∈（0，

π

2

），θ+

π

6

∈（

π

6

，

2π

3

），

1

2

＜sin（θ+

π

4

）≤1
7＜f（θ）≤9
即函数f（θ）的值域为（7，9]．

点评：本题考查三角函数的化简求值，向量平行的应用，注意角的范围三角函数的符号，函数值的确定，角的变换的技巧，考查计算能力，常考题型．