Question

设抛物线C：y²=2px，AB是过焦点F(

p

2

，0)的弦，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），l为准线，给出以下结论：
①4x₁x₂=p²；②以AB为直径的圆与准线l相离；③

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

p

；  ④设准线l与x轴交于点N，则FN平分∠ANB；⑤过准线l上任一点M作抛物线的切线，则切点的连线必过焦点．则以上结论正确的是

①④⑤

将正确结论的序号填上去）

Answer 1

分析：①由题意可设直线AB的方程为x=ky+

1

2

p，联立方程

y2=2px x=ky+ 1 2 p

消去x可得y²-2pky-p²=0（*），根据方程的根与系数关系可求
②分别过A，B作AP⊥l，BQ⊥l，垂足分别为P，Q，由抛物线的定义可知，AF=AP，BF=BQ，设AB的中点为C，过C作CD⊥l，垂足为D，则CD=

AP+BQ

2

=

AF+BF

2

1

2

AB，从而可判断
③由定义可得AF=AP=x1+

1

2

p，BF=BQ=x2+

1

2

p，结合①中的方程的根与系数关系可求
④要证FN平分∠ANB，即∠ANF=∠BNF，根据题意只要证明K_AN=-K_BN，即可
⑤设出切线方程，联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可求过切点的直线方程，进而可判断过 焦点

解答：解：由题意可设直线AB的方程为x=ky+

1

2

p
联立方程

y2=2px x=ky+ 1 2 p

消去x可得y²-2pky-p²=0（*）
则y1y2=-p2，y₁+y₂=2pk，

∴x1x2=

y12

2p

•

y22

2p

=

p4

4p2

=

p2

4

∴4x1x2=p2  ①正确
分别过A，B作AP⊥l，BQ⊥l，垂足分别为P，Q
由抛物线的定义可知，AF=AP，BF=BQ
设AB的中点为C，过C作CD⊥l，垂足为D，则CD=

AP+BQ

2

=

AF+BF

2

=

1

2

AB
即所作圆的圆心C到准线的距离与圆的半径

1

2

AB相等，则以AB为直径的圆与准线l相切，②错误
由于AF=AP=x1+

1

2

p，BF=BQ=x2+

1

2

p
由方程（*）可得，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p

1

AF

+

1

BF

=

1

x1+ 1 2 p

+

1

x2+ 1 2 p

=

x1+x2+p

(x1+ 1 2 p)(x2+ 1 2 p)

=

x1+x2+p

x1x2+ 1 2p (x1+x2)+ p2 4

=

2pk2+p+p

p2 4 + p 2 •(2pk2+p)+ p2 4

=

2p(1+k2)

p2 (1+k2)

=

2

p

③错误
由题意可知N（-

1

2

p，0），KAN=

y1

x1+ 1 2 p

，KBN=

y2

x2+ 1 2 p

∴K_AN+K_BN=

y1

x1+ 1 2 p

+

y2

x2+ 1 2 p

=

y1

ky1+p

+

y2

ky2+p

=

2ky1y2+p(y1+y2)

k2y1y2+kp(y1+y2)+p2

=

2k•(-p2)+p•2pk

k2•(-p2)+kp•2pk+p2

=0
∴K_AN=-K_BN，则可得∠ANF=∠BNF即FN平分∠ANB，④正确
设点M（-

p

2

，m），切点分别为E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），从而可得切线的方程为y-m=k（x+

p

2

）
联立方程

y2=2px y-m=k(x+ p 2 )

可得ky²-2py+kp²+2pm=0（*）
由题意可得，△=4p²-4k（kp²+2pm）=0即pk²+2mk-p=0
则k₁k₂=-1（k₁，k₂分别为切线ME，MF的斜率）
对应方程（*）可得y1=

p

k1

，y2=

p

k2

即E(

p

2k12

，

p

k1

)，F(

p

2k22

，

p

k2

)
∴KEF=

y2-y1

x2-x1

=

p k1 - p k2

p 2k12 - p 2k22

=

2k1k2

k1+k2

=-

2

k1+k2

∴过切点EF的直线方程为y-y1=

-2

k1+k2

(x-x1)
即y=-

2x

k1+k2

+

2x1

k1+k2

=-

2

k1+k2

(x-

p

2

)，即直线EF过焦点（

p

2

，0），⑤正确

点评：本题主要考查了抛物线的性质的应用，解题的关键是灵活利用抛物线的定义进行解题，属于综合性试题