Question

【题目】已知函数，其中为实数．

（1）求的单调区间；

（2）若，则当时，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先求出函数的解析式，再对其求导，利用导数与函数单调性的关系即可求解；

（2）先通过分类讨论去掉绝对值，再将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，然后根据函数的单调性求出最值，则问题获解．

解：（1）由题意得，，

所以．

所以或时，恒成立，

即当时，恒成立，

所以的单调递减区间为，无单调递增区间．

当时，令，得，

令，得或，

所以的单调递增区间为，

单调递减区间为．

综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，）的单调递增区间为，

单调递减区间为．

（2）当时，恒成立，

等价于当时，恒成立．

由得．

令．

①若

在上单调递减，

所以，所以，

则，与矛盾，故此时不存在．

②若，

当时，，

在上单调递减，

所以，此时，符合题意．

当时，．

令得．

令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以当时，，所以．

所以则在上单调递增，

所以，

所以，

即．

又，

所以．

综上，实数的取值范围为．