【题目】如图,在四棱柱中,四边形ABCD为平行四边形,且点在底面上的投影H恰为CD的中点.
(1)棱BC上存在一点N,使得AD⊥平面,试确定点N的位置,说明理由;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)点N为棱BC的中点,理由见解析;(2)2.
【解析】
(1)点N为棱BC的中点,由题可得△HBC为等边三角形,所以NH⊥BC,又可证⊥BC,故可得BC⊥平面,又AD//BC,即证AD⊥平面;
(2)由题得到平面的距离即为A到平面的距离,过A作AM⊥CD于点M,证AM⊥平面,则,由条件代值计算即可.
(1)当点N为棱BC的中点时,符合题目要求,下面给出证明.
分别连结NH,,BH,
∵在底面上的投影H恰为CD的中点,∴⊥平面ABCD,
又BC平面ABCD,∴⊥BC,
在△HBC中,,故△HBC为等边三角形,
又点N为棱BC的中点,∴NH⊥BC,
又⊥BC,∩NH=H,,NH平面,
∴BC⊥平面,
又由平行四边形ABCD得AD//BC,
∴AD⊥平面,点N即为所求.
(2)∵平面//平面,
∴到面的距离即为A到平面的距离,
过A作AM⊥CD于点M,
又⊥平面ABCD,∴⊥AM,
又,∴AM⊥平面,
,,
又,
所以.
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【题目】如图,在四棱锥中,为等边三角形,边长为2,为等腰直角三角形,,,,平面平面ABCD.
(1)证明:平面PAD;
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值;
(3)棱PD上是否存在一点E,使得平面PBC?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体(即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中,直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体)的顶点数V.棱数E及面数F满足等式,这个等式称为欧拉多面体公式,被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一,现实生活中存在很多奇妙的几何体,现代足球的外观即取自一种不完全正多面体,它是由m块黑色正五边形面料和块白色正六边形面料构成的.则( )
A.20B.18C.14D.12
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【题目】如图,在四棱柱中,四边形ABCD为平行四边形,且点在底面上的投影H恰为CD的中点.
(1)棱BC上存在一点N,使得AD⊥平面,试确定点N的位置,说明理由;
(2)求三棱锥的体积.
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【题目】如图,某居民区内有一直角梯形区域,,,百米,百米.该区域内原有道路,现新修一条直道(宽度忽略不计),点在道路上(异于,两点),,.
(1)用表示直道的长度;
(2)计划在区域内修建健身广场,在区域内种植花草.已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元,种植花草的成本为每平方百米2万元,新建道路的成本为每百米4万元,求以上三项费用总和的最小值(单位:万元).
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【题目】已知等差数列的公差为,前n项和为,且满足____________.(从①);②成等比数列;③,这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置,并根据你的选择解决问题)
(I)求;
(Ⅱ)若,求数列的前n项和.
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