Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其侧面展开图是边长为8的正方形．E、F分别是侧棱AA₁、CC₁上的动点，AE+CF=8．
（Ⅰ）证明：BD⊥EF；
（Ⅱ）P在棱AA₁上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求CF．

Answer 1

分析：（1）证明BDBD⊥平面AA₁C₁C，即可得到结论；
（2）利用线面平行的性质得到线线平行，再利用线之间的数量关系，就可求得CF的长．

解答：（1）证明：连接AC，由ABCD是菱形得，AC⊥BD
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABC
∴AA₁⊥BD
∵AA₁∩AC=A
∴BD⊥平面AA₁C₁C
∵EF?平面AA₁C₁C
∴BD⊥EF
（2）解：连AC交BD与O，
∵EF∥平面PBD
∴EF∥PO
过点C作CQ∥OP交AA₁于点Q
∵EF∥PO
∴EF∥QC
∴QE=CF
∵四边形EFCQ为菱形．
∴O为AC的中点
∴P为AQ的中点
∴PQ=AP=2
∵AE+CF=AP+PQ+QE+CF=2+2+CF+CF=8
∴CF=2

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理及性质、线面平行的性质定理，同时也考查了棱柱的有关知识．属于常规题．