Question

函数f（x）=

cx+d

1+x2

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（1）=

1

2

（1）求实数c和d，并确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

（1）函数f（x）=

cx+d

1+x2

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
可得f（0）=0，解得d=0．
再由f（1）=

c

2

=

1

2

，可得 c=1．
故函数的解析式为 f（x）=

x

1+x2

．
（2）由函数的解析式可得函数在（-1，1）上是增函数．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，则 f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

 
=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

x1-x2+x1•x2(x2-x1)

(1+x12)(1+x22)

=

( x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

．
由题设可得 x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴

( x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），故函数在（-1，1）上是增函数．