Question

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），D（2，1）是椭圆M的一条弦AB的中点，点P（4，-1）在直线AB上，求椭圆M的离心率（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2

  3

• C、

  1

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入椭圆M方程并作差，化简整理得

y1-y2

x1-x2

=-

b2

a2

•

x1+x2

y1+y2

．由中点坐标公式与直线的斜率公式，结合题意化简得x₁+x₂=4、y₁+y₂=2且

y1-y2

x1-x2

=-1，代入前面的等式化简得a²=2b²，从而解出a=

2

c，即可算出椭圆M的离心率．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点A、B在椭圆M上，∴

x12 a2 + y12 b2 =1 x22 a2 + y22 b2 =1

，两式相减得

1

a2

(x12-x22)+

1

b2

(y12-y22)=0．
整理可得：

y1-y2

x1-x2

=-

b2

a2

•

x1+x2

y1+y2

…①，
∵AB的中点为D（2，1），∴由中点坐标公式，可得x₁+x₂=4且y₁+y₂=2，…②，
又∵直线AB经过点D（2，1）与P（4，-1），
∴k_AB=k_PD，即

y1-y2

x1-x2

=

-1-1

4-2

=-1…③，
将②③代入①，可得-1=-

b2

a2

•

4

2

，化简得a²=2b²，
即a²=2（a²-c²），解之得a=

2

c，
∴该椭圆的离心率e=

c

a

=

2

2

．
故选：D

点评：本题给出椭圆的弦AB的中点D的坐标，在直线AB经过定点P的情况下求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．