Question

已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）设A、B是轨迹C上两个不同的点，且OA⊥OB，证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设动圆圆心C（x，y），由题设条件推导出

(x-1)2+y2

=|x+1|，由此能求出动圆圆心C的轨迹方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y 12=4x₁，y 22=4x₂，由OA⊥OB推导出x₁x₂=16，y₁y₂=-16，由此利用直线方程和点差法能证明直线AB过定点（4，0）．

解答： （1）解：设动圆圆心C（x，y），
∵动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切，
∴

(x-1)2+y2

=|x+1|，
整理，得y²=4x，
∴动圆圆心C的轨迹方程为y²=4x．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y 12=4x₁，y 22=4x₂，
∵OA⊥OB，∴∠AOB=90，
∴

y1y2

x1x2

=-

4 x1x2

x1x2

=-1，∴x₁x₂=16，y₁y₂=-16，
由直线AB得：y-y₁=

y1-y2

x1-x2

（x-x₁），
y 12=4x₁，y 22=4x₂，两式相减，得
（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

，
∴y-y₁=

4

y1+y2

（x-x₁），
又∵y₁y₂=-16，y 12=4x₁，y 22=4x₂，
（y-y₁）（y₁+y₂）=4（x-x₁），
∴yy₁+yy₂-y 12-y₁y₂=4x-4x₁，
yy₁+yy₂-4x₁+16=4x-4x₁，
yy₁+yy₂=4x-16，
∴（y₁+y₂）y=4（x-4）
x=4时，y恒为0
∴直线AB过定点（4，0）．

点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．