Question

已知点P(

2

，1)在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，且它到双曲线一个焦点F的距离是1．
（1）求双曲线方程；   
（2）过F的直线L₁交双曲线于A，B两点，若弦长|AB|不超过4，求L₁的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由点P(

2

，1)在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，且它到双曲线一个焦点F的距离是1，知

( 2 -c)2+(1-0)2

=1，即c=

2

，设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

2-a2

=1，把点P(

2

，1)代入，能求出双曲线方程．
（2）由双曲线方程是x²-y²=1，知F（

2

，0），故直线L₁的方程是：y=k(x-

2

)，由

y=k(x- 2 ) x2-y2=1

，得（1-k²）x²+2

2

k2x-2k2-1=0，由此利用弦长公式能求出L₁的斜率的取值范围．

解答：解：（1）∵点P(

2

，1)在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
且它到双曲线一个焦点F的距离是1，
∴

( 2 -c)2+(1-0)2

=1，即c=

2

，
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

2-a2

=1，
把点P(

2

，1)代入，得

2

a2

-

1

2-a2

=1，
整理，得a⁴-5a²+4=0，解得a²=1，或a²=4（舍），
∴双曲线方程是x²-y²=1．
（2）∵双曲线方程是x²-y²=1，∴F（

2

，0），
∴直线L₁的方程是：y=k(x-

2

)，
由

y=k(x- 2 ) x2-y2=1

，得（1-k²）x²+2

2

k2x-2k2-1=0，
当k=±1时，直线y=k(x-

2

)与双曲线的渐近线平行，弦长为0，成立．
当k≠±1时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

2 2 k2

k2-1

，x1x2=

2k2+1

k2-1

，
|AB|=

(1+k2)[( 2 2 k2 k2-1 )2- 8k2+4 k2-1 ]

≤4，
∴（1+k²）•

4k2+4

(k2-1)2

≤16，
整理，得3k⁴-10k²+3≥0，
解得k²≥3，或k2≤

1

3

，
∴k≥

3

，或k≤-

3

，或-

3

3

≤k≤

3

3

，
综上所述，L₁的斜率的取值范围是{k|k≥

3

，或k≤-

3

，或-

3

3

≤k≤

3

3

，或k=±1}．

点评：本题考查双曲线方程的求法和求直线求的斜率的取值范围．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用，易错点是容易忽视直线与双曲线渐近线平行的情况．