Question

已知函数f（t）=

1-t 1+t

，g（x）=cosx•f（sinx）+sinx•f（cosx），x∈（π，

17π

12

]
（1）将函数g（x）化简成Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式．
（2）求函数g（x）的值域，
（3）已知函数g（x）与函数y=h（x）关于x=π对称，求函数y=h（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由x∈（π，

17π

12

]，可得sinx＜0，cosx＜0．再根据函数g（x）=cosx•

1-sinx

|cosx|

+sinx•

1-cosx

|sinx|

=sinx-1+cosx-1，利用辅助角公式化为

2

sin（x+

π

4

）-2．
（2）由 x∈（π，

17π

12

]，利用正弦函数的定义域和值域求得

2

sin（x+

π

4

）-2 的范围，可得函数g（x）的值域．
（3）由已知可得在函数h（x）上任意取一点M（x，y），则点M关于x=π的对称点N（2π-x，y）在函数g（x）上，由此可得函数y=h（x）的解析式．

解答：解：（1）∵x∈（π，

17π

12

]，∴sinx＜0，cosx＜0．
再由函数f（t）=

1-t 1+t

，可得 函数g（x）=cosx•f（sinx）+sinx•f（cosx）=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

 
=cosx•

1-sinx

|cosx|

+sinx•

1-cosx

|sinx|

=sinx-1+cosx-1=

2

sin（x+

π

4

）-2．
（2）由 x∈（π，

17π

12

]，可得

5π

4

＜x+

π

4

≤

5π

3

，-1≤sin（x+

π

4

）＜-

2

2

，
∴-2-

2

≤

2

sin（x+

π

4

）-2＜-3，故函数g（x）的值域为[-2-

2

，-3）．
（3）已知函数g（x）与函数y=h（x）关于x=π对称，
在函数h（x）上任意取一点M（x，y），则点M关于x=π的对称点N（2π-x，y）在函数g（x）上，
故有y=

2

sin[（2π-x）+

π

4

]-2=

2

sin（

π

4

-x）=-

2

sin（x-

π

4

）-2，x∈（π，

17π

12

]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．