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已知集合A={(x,y)|y≥|x-a|},B={(x,y)|y≤-a|x|+2a}(a≥0).
(1)证明A∩B≠∅;
(2)当0≤a≤4时,求由A∩B中点组成图形面积的最大值.
分析:(1)根据(0,a)∈A,(0,2a)∈B,可得A∩B≠∅.
(2)分类讨论:当2≤a≤4时,A∩B中点组成三角形,当0<a<2时,A∩B中点组成四边形,求出相应的面积,利用导数求得面积的最大值,从而可得结论.
解答:(1)证明:显然(0,a)∈A.
当x=0时,y≤-a|x|+2a=2a,
∴(0,2a)∈B.∴A∩B≠∅.
(2)解:如左上图,当2≤a≤4时,A∩B中点组成如图所示△EFD,
∴E(0,2a)、F(-
a
1+a
a2+2a
1+a
)、D(
a
a-1
a2-2a
a-1
)、G(0,a).
∴S△EFD=S△EFG+S△FGD=
1
2
a•
a
1+a
+
1
2
a•
a
a-1
=
a3
a2-1

当0<a<2时,A∩B中点组成如右上图所示四边形EFGH.
∴E(0,2a)、F(-
a
1+a
a2+2a
1+a
)、G(a,0)、H(
3a
1+a
-a2+2a
1+a
)、D(-2,0)、Q(2,0),
∴S四边形EFGH=S△DEQ-S△DFG-S△GHQ=
1
2
×4×2a-
1
2
(a+2)•
a2+2a
1+a
-
1
2
 (2-a)•
-a2+2a
1+a
=
4a2-a3
1+a

当a=0时,A∩B={(0,0)},显然适合上式,
∴S=
4a2-a3
1+a
,0≤a<2
a3
a2-1
,2≤a≤4

当0≤a<2时,S=
4a2-a3
1+a
,∴S′=
2a(4-a2)+a2
(1+a)2
>0
∴S=
4a2-a3
1+a
在[0,2)上是增函数.∴0≤S<
8
3

当a≥2时,S=
a3
a2-1
,∴S′=
a2(a2-3)
(a2-1)2
>0,
∴S=
a3
a2-1
在[2,4]上是增函数,∴
8
3
≤S≤
64
15

综上所述,当a=4时,A∩B中点组成图形面积取得最大值
64
15
点评:本题考查A∩B中点组成图形面积的计算,考查利用导数求最大值,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
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