Question

已知集合A={（x，y）|y≥|x-a|}，B={（x，y）|y≤-a|x|+2a}（a≥0）．
（1）证明A∩B≠∅；
（2）当0≤a≤4时，求由A∩B中点组成图形面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据（0，a）∈A，（0，2a）∈B，可得A∩B≠∅．
（2）分类讨论：当2≤a≤4时，A∩B中点组成三角形，当0＜a＜2时，A∩B中点组成四边形，求出相应的面积，利用导数求得面积的最大值，从而可得结论．

解答：（1）证明：显然（0，a）∈A．
当x=0时，y≤-a|x|+2a=2a，
∴（0，2a）∈B．∴A∩B≠∅．
（2）解：如左上图，当2≤a≤4时，A∩B中点组成如图所示△EFD，
∴E（0，2a）、F（-

a

1+a

，

a2+2a

1+a

）、D（

a

a-1

，

a2-2a

a-1

）、G（0，a）．
∴S_△EFD=S_△EFG+S_△FGD=

1

2

a•

a

1+a

+

1

2

a•

a

a-1

=

a3

a2-1

．
当0＜a＜2时，A∩B中点组成如右上图所示四边形EFGH．
∴E（0，2a）、F（-

a

1+a

，

a2+2a

1+a

）、G（a，0）、H（

3a

1+a

，

-a2+2a

1+a

）、D（-2，0）、Q（2，0），
∴S_{四边形EFGH}=S_△DEQ-S_△DFG-S_△GHQ=

1

2

×4×2a-

1

2

（a+2）•

a2+2a

1+a

-

1

2

 （2-a）•

-a2+2a

1+a

=

4a2-a3

1+a

．
当a=0时，A∩B={（0，0）}，显然适合上式，
∴S=

4a2-a3 1+a ，0≤a＜2 a3 a2-1 ，2≤a≤4

当0≤a＜2时，S=

4a2-a3

1+a

，∴S′=

2a(4-a2)+a2

(1+a)2

＞0
∴S=

4a2-a3

1+a

在[0，2）上是增函数．∴0≤S＜

8

3

．
当a≥2时，S=

a3

a2-1

，∴S′=

a2(a2-3)

(a2-1)2

＞0，
∴S=

a3

a2-1

在[2，4]上是增函数，∴

8

3

≤S≤

64

15

．
综上所述，当a=4时，A∩B中点组成图形面积取得最大值

64

15

．

点评：本题考查A∩B中点组成图形面积的计算，考查利用导数求最大值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．