Question

已知直线l：y=kx+k+1，抛物线C：y²=4x，定点M（1，1）．
（I）当直线l经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；
（II）当k（k≠0）变化且直线l与抛物线C有公共点时，设点P（a，1）关于直线l的对称点为Q（x，y），求x关于k的函数关系式x=f（k）；若P与M重合时，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据抛物线方程可求得焦点坐标，代入直线方程求得k，设点N（m，n）根据M与N的对称性联立方程，求得m和n，可得N的坐标，把N的坐标代入抛物线方程，结果等式不成立，进而可判断点N不在抛物线C上．
（2）直线方程与抛物线方程联立消去x，根据判别式大于等于0，求得k的范围，根据P，Q的对称联立方程求得x的表达式，根据P与M重合时a=1，根据函数f（x）的单调性和奇偶性求得x的范围．
解答：解：（I）由焦点F（1，0）在l上，得
设点N（m，n）则有：，
解得，
∴
∵，
N点不在抛物线C上．
（2）把直线方程代入抛物线方程得：ky²-4y+4k+4=0，
∵相交，∴△=16（-k²-k+1）≥0，


解得．
当P与M重合时，a=1
∴，
∵函数x=f（x）（k∈R）是偶函数，且k＞0时单调递减．
∴，
，
点评：本题主要考查了抛物线的应用及抛物线与直线的关系．此类题是高考常考类型，平时应加强练习．