Question

如图，向量

OA

和

OB

分别经过矩阵M变换成

OA′

成和

OB′

．这个矩阵M将曲线y=sin（x+

π

3

）变换成曲线y=f（x），求f （x）在区间[-

π

3

，2π]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二阶矩阵与平面向量的乘法

专题：选作题,矩阵和变换

分析：二阶矩阵把点变换成点，利用待定系数法及二阶矩阵与平面列向量的乘法，可求矩阵M，从而可得曲线y=f（x），即可求f （x）在区间[-

π

3

，2π]上的最大值和最小值．

解答： 解：待定系数设M=

a b c d

，
∵向量

OA

和

OB

分别经过矩阵M变换成

OA′

成和

OB′

，
∴

a b c d

1 1

=

2 2

，

a b c d

1 2

=

2 4

，
∴

a+b=2 a+2b=2

，

c+d=2 c+2d=4

，
∴a=2，b=0，c=0，d=2，
∴M=

2 0 0 2

；
在M的作用下，

x= x′ 2 y= y′ 2

 再坐标转移法得曲线y=sin（x+

π

3

）变换成曲线y=f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

）
∵x∈[-

π

3

，2π]，
∴

x

2

+

π

3

∈[

π

6

，

4π

3

]，
∴2sin（

x

2

+

π

3

）∈[-

3

，1]．
∴f （x）在区间[-

π

3

，2π]上的最小值为-

3

，最大值为1．

点评：由矩阵M确定的变换，通常记为T_M，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T_M，的作用下得到一个新的图形．通过变换矩阵建立所求曲线上的点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键．