Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），向量

b

=（

3

，-1），则|2

a

-

b

|的最大值与最小值的和是（　　）

• A．4

  2

• B．6
• C．4
• D．16

Answer 1

分析：利用向量的坐标运算可求得2

a

-

b

=（2cosθ-

3

，2sinθ+1），从而可求得|2

a

-

b

|及其最大值与最小值的和．

解答：解：∵向量

a

=（cosθ，sinθ），向量

b

=（

3

，-1），
∴2

a

-

b

=（2cosθ-

3

，2sinθ+1），
∴|2

a

-

b

|2=(2cosθ-

3

)2+（2sinθ+1）²
=4cos²θ-4

3

cosθ+3+4sin²θ+4sinθ+1
=4sinθ-4

3

cosθ+8
=8sin（θ-

π

3

）+8，
当sin（θ-

π

3

）=-1时，|2

a

-

b

|2取得最小值0，|2

a

-

b

|取得最小值0；
当sin（θ-

π

3

）=1时，|2

a

-

b

|2取得最大值16，|2

a

-

b

|取得最大值4；
∴|2

a

-

b

|的最大值与最小值的和是4．
故选：C．

点评：本题考查平面向量的坐标运算，着重考查两角和与差的正弦，突出考查正弦函数的最值，属于中档题．