Question

甲、乙两班参加数学知识竞赛，每班出3人组成代表队，每人一道必答题，答对为本队得1分，答错或不答得0分，假如甲队每人答对的概率均为

2

3

，乙队3人答对的概率分别为

2

3

、

2

3

、

1

2

，且每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分数．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列与均值E（ξ）；
（Ⅱ）用A表示事件“甲、乙两队得分和为3”，B表示事件“甲队得分大于乙队得分”，求P（AB）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列与均值E（ξ）；
（Ⅱ）“甲、乙两个队总得分之和等于3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足，有两种情况：“甲得（2分）乙得（1分）”和“甲得（3分）乙得0分”这两个事件互斥，分别求概率，再取和即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且P（ξ=0）=

C

0 3

×(1-

2

3

)3=

1

27

，
P（ξ=1）=

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2=

2

9

，P（ξ=2）=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)=

4

9

，P（ξ=3）=

C

3 3

×(

2

3

)3=

8

27

所以ξ的分布列为

ξ的数学期望为Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2；
（Ⅱ）用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”这一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”这一事件，
所以AB=C∪D，且C，D互斥，
又P（C）=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)×（

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

）=

10

34

P（D）=

C

3 3

×(

2

3

)3×

1

3

×

1

3

×

1

2

=

4

35

由互斥事件的概率公式得P（AB）=P（C）+P（D）=

10

34

+

4

35

=

34

243

．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．