Question

已知抛物线 y ² =" –" x与直线 y =" k" ( x + 1 )相交于A、B两点, 点O是坐标原点.
(1) 求证: OA^OB; 
(2) 当△OAB的面积等于时, 求k的值.

Answer 1

解: (1) 当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意,      …………              2分
∴k ¹ 0由y =" k" (x+1)得x = –1 代入y ² =" –" x 整理得: y ² +y – 1 =" 0" ，     2分
设A (x ₁ , y ₁), B (x ₂ , y ₂) 则y ₁ + y ₂ = –,  y ₁y ₂ =" –1."      …………              2分
∵A、B在y ² =" –" x上, ∴A (–, y ₁ ), B (–, y ₂ ) ，
∴ k_OA·k_OB ===" –" 1 .                      
∴ OA^OB.                         ……………              3 分
(2) 设直线与x轴交于E, 则 E ( – 1 , 0 ) ∴|OE| =" 1" ，

S_△OAB =|OE|(| y ₁| + | y ₂| ) =| y ₁ – y ₂| ==, 解得k = ±   略