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7名身高互不相等的学生,分别按下列要求排列,各有多少种不同的排法?
(1)7人站成一排,要求最高的站在中间,并向左、右两边看,身高逐个递减;
(2)任取6名学生,排成二排三列,使每一列的前排学生比后排学生矮.
分析:(1)把最高的学生排在正中间,再从剩余的6人中,任选三人,按照从低到高的顺序排在前3位上,有
C
3
6
中方法,剩余的3人按照从高到低的顺序排在后三位上,只有一种方法,
根据分布计数原理,得出结论.
(2)第一步:先任取6名学生;第二步:则先任取2个人,排成一列,使矮的在后边;第三步:再从剩余的4人中任取2个人,排成一列,使矮的在后边;第四步:最后剩余的2个人,排成一列,使矮的在后边.求出每一步的方法数,相乘即得所求.
解答:解:(1)把最高的学生排在正中间,再从剩余的6人中,任选三人,按照从低到高的顺序排在前3位上,有
C
3
6
中方法;
剩余的3人按照从高到低的顺序排在后三位上,只有
C
3
3
=1种方法,故共有
C
3
6
C
3
3
=20种方法.
(2)第一步:任取6名学生,有
C
6
7
种方法,因为要排成二排,使每一列的前排学生比后排学生矮,
第二步:则先任取2个人,排成一列,使矮的在后边,有
C
2
6
种方法;
第三步:再从剩余的4人中任取2个人,排成一列,使矮的在后边,有
C
2
4
种方法;
第四步:最后剩余的2个人,排成一列,使矮的在后边,有
C
2
2
种方法.
根据分步计数原理,所有的排列方法共有
C
6
7
C
2
6
C
2
4
C
2
2
=630种方法.
点评:本题主要考查排列与组合及两个基本原理,排列数公式、组合数公式的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

7名身高互不相等的学生,分别按下列要求排列,各有多少种不同的排法?
(1)7人站成一排,要求较高的3个学生站在一起;
(2)7人站成一排,要求最高的站在中间,并向左、右两边看,身高逐个递减;
(3)任取6名学生,排成二排三列,使每一列的前排学生比后排学生矮.

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7名身高互不相等的学生,分别按下列要求排列,各有多少种不同的排法?

(1)7人站成一排,要求最高的站在中间,并向左、右两边看,身高逐个递减;

(2)任取6名学生,排成二排三列,使每一列的前排学生比后排学生矮.

 

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

7名身高互不相等的学生,分别按下列要求排列,各有多少种不同的排法?
(1)7人站成一排,要求较高的3个学生站在一起;
(2)7人站成一排,要求最高的站在中间,并向左、右两边看,身高逐个递减;
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