Question

设F₁、F₂为椭圆 的两个焦点，P为上一点，已知P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF₁｜＞｜PF₂｜，求的值.

Answer 1

由已知，｜PF₁｜＞｜PF₂｜，｜PF₁｜＋｜PF₂｜＝6，｜F₁F₂｜＝，

若∠PF₂F₁为直角，则｜PF₁｜²＝｜PF₂｜²＋｜F₁F₂｜²，可解得：｜PF₁｜＝，｜PF₂｜＝，这时.

若∠F₂PF₁为直角，则｜PF₁｜²＋｜PF₂｜²＝｜F₁F₂｜²，可解得：｜PF₁｜＝4，｜PF₂｜＝2，这时.

解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x,y)（其中x>0,y>0），.若∠PF₂F₁为直角，则P（），这时｜PF₁｜＝，｜PF₂｜＝，这时.若∠PF₂F₁为直角，则由，解得：.

于是｜PF₁｜＝4，｜PF₂｜＝2，这时.

点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用｜PF₁｜＝a+ex,｜PF₂｜=a-ex来求解.

解析:

由已知，F₁不是直角顶点，所以只要对P、F₂中哪一个是直角顶点分两种情况即可.