Question

设函数f（x）=|2x-2|+|x+3|，
（1）解不等式f（x）＞6；
（2）若关于x等式f（x）≤|a-1|的解集不是空集，求a得取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过对x＜-3，-3≤x≤1与x＞1的分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式即可求得不等式f（x）＞6的解集；
（2）f（x）=|2x-2|+|x+3|=

-1-3x，x≤-3 5-x，-3＜x＜1 3x+1，x≥1

，利用不等式的性质可知f（x）=|2x-2|+|x+3|≥4，解不等式|a-1|≥f（x）_min=4即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）＞6，
∴|2x-2|+|x+3|＞6，
①当x＜-3时，2-2x-x-3＞6解得x＜-

7

3

，
∴x＜-3；
②当-3≤x≤1时，2-2x+x+3＞6，解得x＜-1，
∴-3≤x＜-1；
③当x＞1时，2x-2+x+3＞6解得x＞

5

3

；
∴原不等式的解集为{x|x＜-1或x＞

5

3

}；
（2）∵f（x）=|2x-2|+|x+3|=

-1-3x，x≤-3 5-x，-3＜x＜1 3x+1，x≥1

，
∴f（x）=|2x-2|+|x+3|≥4，
∴若f（x）≤|a-1|的解集不是空集，则|a-1|≥f（x）_min=4，
解得：a≥5或a≤-3．
∴a的取值范围为（-∞，-3]∪[5，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与转化思想，方程思想的综合应用，考查运算能力，属于中档题．