Question

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数k，定义函数f_k（x）=

f(x)，f(x)≤k k，f(x)＞k

．设函数f（x）=2+x-e^x，若对任意的x∈（-∞，+∞）恒有f_k（x）=f（x），则（　　）

A．k的最大值为2

B．k的最小值为2

C．k的最大值为1

D．k的最小值为1

Answer 1

分析：由已知条件可得k≥f（x）_max，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．

解答：解：由题意可得出k≥f（x）_max，
由于f′（x）=1-e^x，令f′（x）=0，e^x=1=e⁰解出x=0，
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递增，
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递减．
故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=2-1=1．
故当k≥1时，恒有f_k（x）=f（x）
因此k的最小值为1．
故选D．

点评：本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．