Question

设函数y=f（x）在（a，b）上的导数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．若函数f(x)=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2为区间（-1，3）上的“凸函数”，则m=

2

．

Answer 1

分析：先求出f″（x），由题意可知f″＜0，即x²-mx-3＜0在（-1，3）上恒成立，则

(-1)2-m(-1)-3≤0 32-3m-3≤0

，解出即可．

解答：解：f′（x）=

1

3

x3-

1

2

mx2-3x，f″（x）=x²-mx-3，
因为f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，
所以f″＜0恒成立，即x²-mx-3＜0在（-1，3）上恒成立，
则

(-1)2-m(-1)-3≤0 32-3m-3≤0

，解得m=2，
故答案为：2．

点评：本题考查导数在函数中的应用，考查学生对新问题的理解分析能力，属中档题．