Question

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK(x)=

f(x) 1 f(x)

f(x)≤K   f(x)＞K

，取函数f(x)=(

1

2

)|x|，当K=

1

2

时，函数f_K（x）的值域是

 

．

Answer 1

分析：先求出新函数的分界值，在利用定义求出新函数的解析式，最后利用指数函数的单调性求出结论即可．

解答：解：当f(x)=(

1

2

)|x|＞

1

2

时，
∴|x|＜1，此时1≤f_k（x）=2^|x|＜2；
当f(x)=(

1

2

)|x| ≤

1

2

时，∴|x|≥1，此时0＜f（x）=2^-|x| ≤

1

2

；
综上函数f_k（x）值域是 (0，

1

2

]∪[1，2)．
故答案为(0，

1

2

]∪[1，2)．

点评：此题是个中档题．此题是在新定义下对函数单调性以及含的值域的综合考查．在作带有新定义的题目时，一定要先理解定义，再用定义作题．