Question

已知离心率为

1

2

的椭圆C₁的左、右焦点分别为F₁，F₂，抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）的焦点为F₂，设椭圆C₁与抛物线C₂的一个交点为P（x'，y'），|PF1|=

7

3

，则椭圆C₁的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1

；抛物线C₂的标准方程为

y²=4x

．

Answer 1

分析：根据题意设出椭圆的方程，把椭圆的方程与抛物线的方程进行联立，得到交点的坐标，|PF₁|的长，求出m的值，求写出椭圆的方程、抛物线C₂的标准方程，得到结果．

解答：解：因为c=m，e=

1

2

，
∴a=2m，b²=3m²，设椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，
由椭圆的方程与y²=4mx，得3x²+16mx-12m²=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x₁=

2m

3

，
代入抛物线方程得y=

2 6

3

m，P（

2m

3

，

2 6

3

m）
|PF₂|=x₁+m=

5m

3

，
|PF₁|=2a-

5m

3

=

7m

3

=

7

3

，
∴m=1，
当m=1时，椭圆C₁的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；抛物线C₂的标准方程为 y²=4x．
故答案为：

x2

4

+

y2

3

=1；y²=4x．

点评：本题考查解析几何与数列的综合题目，题目中所应用的数列的解题思想，用到曲线与曲线之间的交点问题，本题主要考查运算，整个题目的解答过程看起来非常繁琐，注意运算．