Question

（2013•怀化三模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(

3

，

3

2

)，离心率e=

1

2

，若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N(

x0

a

，

y0

b

)称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

Answer 1

分析：（1）直接把给出的点的坐标代入椭圆方程，结合离心率及隐含条件a²=b²+c²联立方程组求解a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）设出A，B的坐标，根据新定义得到P，Q的坐标，当斜率存在时设出直线方程y=kx+m，联立直线和椭圆方程后利用根与系数关系求得x₁+x₂，x₁x₂，再由以PQ为直径的圆过原点得到A，B的坐标之间的关系3x₁x₂+4y₁y₂=0，转化为横坐标的关系后代入x₁+x₂，x₁x₂，即可把直线的斜率用截距表示，然后利用弦长公式求出AB的长度，用点到直线的距离公式求出O点到AB的距离，利用整体运算就能求得三角形OAB的面积，斜率不存在时直线方程可直接设为x=m，和椭圆方程联立求出y²，同样代入3x₁x₂+4y₁y₂=0后可直接求出m的值，则三角形面积可求．

解答：解：（1）由已知得：

( 3 )2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2=b2+c2 c a = 1 2

，即

3 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2 a=2c

，
 解得a²=4，b²=3，所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

+1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P(

x1

2

，

y1

3

)，Q(

x2

2

，

y2

3

)
1°当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m
 联立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

得：（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0．
则有△=（8km）²-4（3+4k²）×4（m²-3）=48（3+4k²-m²）＞0

x1+x2= -8km 3+4k2 x1x2= 4(m2-3) 3+4k2

①
由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：

OP

•

OQ

=(

x1

2

，

y1

3

)•(

x2

2

，

y2

3

)=

x1x2

4

+

y1y2

3

=0，即3x₁x₂+4y₁y₂=0•
把y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m代入整理得：
(3+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0  ②
将①式代入②式得：3+4k²=2m²，
∵3+4k²＞0，∴m²＞0，
则△=48m²＞0．
又点O到直线y=kx+m的距离d=

|m|

1+k2

．
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

4 3 3+4k2-m2

3+4k2

=

1+k2

4 3 |m|

3+4k2

=

1+k2

4 3 |m|

2m2

所以S△OAB=

1

2

|AB|d=

2 3 m2

2m2

=

3

2°当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（-2＜m＜2）
联立椭圆方程得：y2=

3(4-m2)

4

代入3x₁x₂+4y₁y₂=0得到3m2-

3(4-m2)

4

=0，即m=±

2 5

5

，y=±

2 15

5

．
S△OAB=

1

2

|AB|d=

1

2

|m||y1-y2|=

3

综上：△OAB的面积是定值

3

．
又S△ODE=

1

2

×2×

3

=

3

，所以二者相等．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的综合，考查了弦长公式的用法，训练了直线和圆锥曲线关系中的设而不求的解题方法，体现了整体运算思想，训练了学生的计算能力，该题是有一定难度问题．