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(2013•怀化三模)若正数a,b,c满足a+b+c=1,则
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值为
1
1
分析:根据a+b+c=1,得到(3a+2)+(3b+2)+(3C+2)=9,结合柯西不等式证出9(
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
)≥9,从而
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
≥1,当且仅当a=b=c=
1
3
时等号成立,由此可得
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值.
解答:解:∵a+b+c=1,
∴(3a+2)+(3b+2)+(3C+2)=3(a+b+c)+6=9
∵[(3a+2)+(3b+2)+(3C+2)](
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2

≥(
3a+2
1
3a+2
+
3b+2
1
3b+2
+
3c+2
1
3c+2
2=(1+1+1)2=9
∴9(
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
)≥9,得
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
≥1
当且仅当3a+2=3b+2=3C+2,即a=b=c=
1
3
时,
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值为1
故答案为:1
点评:本题给出三个正数a、b、c的和等于1,求关于a、b、c一个分式的最小值,着重考查了利用柯西不等式求最值的方法,属于中档题.根据柯西不等式的形式结合已知条件进行配凑,是解决本题的关键所在.
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(2013•怀化三模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(
3
3
2
)
,离心率e=
1
2
,若点M(x0,y0)在椭圆C上,则点N(
x0
a
y0
b
)
称为点M的一个“椭点”,直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“椭点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,上顶点为E,试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系,并证明.

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(2013•怀化三模)计算 (log29)•(log34)=
4
4

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(2013•怀化三模)每年的三月十二日是中国的植树节.林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批树苗中各抽了10株,测得髙度如下茎叶图,(单位:厘米),规定树苗髙于132厘米为“良种树苗”.

(I)根据茎叶图,比较甲、乙两批树苗的高度,哪种树苗长得整齐?
(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为
.
x
,将这10株树苗的高度依次输入如图程序框图进行运算,问输出的S为多少?.
(Ⅲ)从抽测的甲乙两种“良种树苗”中任取2株,至少1株是甲种树苗的概率.

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