Question

【题目】如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8，圆环的圆心距离地面的高度为10，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点处.

（1）试确定在时刻（）时蚂蚁距离地面的高度；

（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14？

Answer 1

【答案】（1） （2）有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．

【解析】试题分析：

（1）先确定点P咋t分钟内所转过的角，从而可得到点P的纵坐标，由此可得在时刻时蚂蚁距离地面的高度，（2）根据（1）中的关系式解三角不等式可得的取值范围，进而可得所求时间．

试题解析：

（1）设在时刻t（min）时蚂蚁达到点P，

则点P在t分钟内所转过的角为=，

所以以Ox为始边，OP为终边的角为的大小为+，

故P点的纵坐标为8sin（+），

则h=8sin（+）+10=10﹣8cos，

∴在时刻时蚂蚁距离地面的高度=10﹣8cos（t≥0）．

（2）由（1）知h=10﹣8cos

令10﹣8cos≥14，可得cos≤﹣，

∴（k∈Z），

解得，

又，

∴4≤t≤8．

即在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．