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设双曲线C:
x2
a2
-y2=1 (a>0) 与直线 l:x+y=1
相交于两个不同的点A、B.
(1)求a的取值范围:(2)设直线l与y轴的交点为P,且
PA
=
5
12
PB
.求a的值.
分析:(1)直线与双曲线方程联立消去y,根据判别式和1-2a2≠0,求得a的范围.
(2)设出A,B,P的坐标,根据
PA
=
5
12
PB
求得x1和x2的关系式,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,联立方程求得a.
解答:解:(1)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组
x2
a2
-y2=1
x+y=1.
有两个不同的实数解.
消去y并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0①,所以
1-a2≠0.
4a4+8a2(1-a2)>0.
   解得0<a<
2
且a≠1

所以a的取值范围为:(0,1)∪(1,
2
)

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1)
PA
=
5
12
PB
,    ∴(x1y1-1)=
5
12
(x2y2-1).     由此得x1=
5
12
x2

由于x1,x2都是方程①的根,且1-a2≠0,
所以
17
12
x2=-
2a2
1-a2
.,
5
12
x
2
2
=-
2a2
1-a2
.    消去,x2,得-
2a2
1-a2
=
289
60
    由a>0,所以a=
17
13
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生对圆锥曲线和直线问题的综合把握.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
的右焦点为F2,过点F2的直线l与双曲线C相交于A,B两点,直线l的斜率为
35
,且
AF2
=2
F2B

(1)求双曲线C的离心率;
(2)如果F1为双曲线C的左焦点,且F1到l的距离为 
2
35
3
,求双曲线C的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(理)设双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的离心率为e,若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形.
(1)求双曲线C的离心率e的值;
(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为
b2e2
a
求双曲线c的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•闵行区一模)设双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0),R1,R2是它实轴的两个端点,l是其虚轴的一个端点.已知其一条渐近线的一个方向向量是(1,
3
),△lR1R2的面积是
3
,O为坐标原点,直线y=kx+m(k,m∈R)与双曲线C相交于A、B两点,且
OA
OB

(1)求双曲线C的方程;
(2)求点P(k,m)的轨迹方程,并指明是何种曲线.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•闵行区一模)设双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0)
的虚轴长为2
3
,渐近线方程是y=±
3
x
,O为坐标原点,直线y=kx+m(k,m∈R)与双曲线C相交于A、B两点,且
OA
OB

(1)求双曲C的方程;
(2)求点P(k,m)的轨迹方程.

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