Question

（2012•闵行区一模）设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），R₁，R₂是它实轴的两个端点，l是其虚轴的一个端点．已知其一条渐近线的一个方向向量是（1，

3

），△lR₁R₂的面积是

3

，O为坐标原点，直线y=kx+m（k，m∈R）与双曲线C相交于A、B两点，且

OA

⊥

OB

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求点P（k，m）的轨迹方程，并指明是何种曲线．

Answer 1

分析：（1）根据渐近线的一个方向向量是（1，

3

），可得双曲线的渐近线方程为y=±

3

x，从而有b=

3

a，c=2a，利用△lR₁R₂的面积是

3

，即可求得双曲线C的方程；
（2）直线AB：y=kx+m与双曲线x2-

y2

3

=1联立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0，利用韦达定理及

OA

⊥

OB

知x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得点P的轨迹方程．

解答：解：（1）由题意，渐近线的一个方向向量是（1，

3

），∴双曲线的渐近线方程为y=±

3

x，则有b=

3

a，c=2a
又△lR₁R₂的面积是

3

，故

1

2

×2a×b=

3

，得a=1，b=

3

，c=2（3分）
所以双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1．（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=kx+m与双曲线x2-

y2

3

=1联立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0
由题意3-k²≠0，且

△＞0 x1+x2= 2km 3-k2 x1x2= -m2-3 3-k2

 （4分）
又由

OA

⊥

OB

知x₁x₂+y₁y₂=0
而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
所以

m2+3

k2-3

+k²×

m2+3

k2-3

+km×

2km

3-k2

+m²=0
化简得2m²-3k²=3①
由△＞0可得k²＜m²+3②
由①②可得2m²-3k²=3                  （6分）
故点P的轨迹方程是2y²-3x²=3（x≠±

3

），其轨迹是双曲线       （8分）

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与双曲线方程联立，利用韦达定理进行求解．