Question

已知⊙Q过定点A（0，p）（p＞0），圆心Q在抛物线x²=2py上运动，MN为圆Q在x轴上所截得的弦．
（1）当Q点运动时，MN是否有变化？并证明你的结论；
（2）当OA是OM与ON的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆Q的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设Q（x₀，y₀），则x₀²=2py₀（y₀≥0），则⊙Q的半径|QA|=

x 2 0 +(y0-p)2

，⊙Q的方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-p）²．由此能够导出|MN|不变化，为定值2p．
（2）设M（x₀-p，0），N（x₀+p，0），由|OA|=|OM|+|ON|，得2p=|x₀-p|+|x₀+p|，所以-p≤x₀≤p．由此能够导出⊙Q与抛物线的准线总相交．

解答：（本题16分）解：（1）设Q（x₀，y₀），则x₀²=2py₀（y₀≥0）
则⊙Q的半径|QA|=

x 2 0 +(y0-p)2

，…（1分）
⊙Q的方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-p）²…（3分）
令y=0，并把x₀²=2py₀代入得x²-2x₀x+x₀²-p²=0，
解得x₁=x₀-p，x₂=x₀+p，…（6分）
∴|MN|=|x₁-x₂|=2p，∴|MN|不变化，为定值2p．…（7分）
（2）不妨设M（x₀-p，0），N（x₀+p，0）…（8分）
由题2|OA|=|OM|+|ON|，得2p=|x₀-p|+|x₀+p|
∴-p≤x₀≤p．…（11分）
∵Q到抛物线准线y=-

p

2

的距离d=y0+

p

2

=

x 2 0 +p2

2p

…（12分）
⊙Q的半径r=|QA|=

x 2 0 +(y0-p)2

=

x 2 0 +( x 2 0 2p -p)2

=

1

2p

x 4 0 +4p4

…（14分）r2-d2=

x 4 0 +4p4

4p2

-

( x 2 0 +p2)2

4p2

=

-2 x 2 0 +3p2

4

=

( 3 2 p2- x 2 0 )

2

又

x

2 0

≤p2＜

3

2

p2   (p＞0)，故r＞d，
即⊙Q与抛物线的准线总相交．…（16分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．