Question

（2010•重庆三模）在△ABC中，cosB=

5 7

14

，cosC=-

7

14

．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）△ABC的面积是3

3

，求BC边长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由B和C都为三角形的内角，及cosB及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB及sinC的值，再根据三角形的内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出sinA的值；
（Ⅱ）由第一问求出的sinC和sinB的值，利用正弦定理得到c与b的关系，由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinA和已知的面积代入求出bc的值，与得到的c与b的关系式联立求出b与c的值，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值，即为BC的值．

解答：解：（Ⅰ）∵B和C为三角形的内角，
由cosB=

5 7

14

⇒sinB=

21

14

，…（2分）
由cosC=-

7

14

⇒sinC=

3 21

14

，…（4分）
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

3

2

；…（6分）
（Ⅱ）∵sinC=

3 21

14

，sinB=

21

14

，
∴根据正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

得：c=3b，…（8分）
由（1）知A=

π

3

，
∴S△=

1

2

bcsinA=3

3

⇒bc=12⇒3b2=12⇒b=2，
∴c=6，…（10分）
∴由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=28⇒a=2

7

⇒BC=2

7

．…（13分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．